Аналоговые устройства аппаратуры связи

Глава II. Электрические фильтры | назад | оглавление | вперёд |

> Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой непропускания (задерживания). Между этими полосами находится переходная область.

> По расположению полосы пропускания на шкале частот различают следующие фильтры:

> нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания располагается на шкале частот от w = 0 до некоторой граничной частоты , а полоса непропускания (задерживания) – от частоты до бесконечно больших частот (рис. 2.1, а);

> Рис. 2.1

> верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты w = 0 до (рис. 2.1, б);

> полосовые (ПФ), в которых полоса пропускания располагается между полосами непропускания и (рис. 2.1, в);

> заграждающие (режекторные) (ЗФ или РФ), в которых между полосами пропускания и находится полоса непропускания (рис. 2.1, г);

> многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

> На рис. 2.1, а – г показаны также условные обозначения фильтров каждого типа в соответствии с ГОСТ.

> В соответствии с используемой элементной базой к настоящему моменту выделились несколько классов фильтров. Исторически первыми (и все еще наиболее широко применяемыми) являются пассивные фильтры, содержащие элементы L и С. Они носят название LC-фильтров.

> Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая избирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и непропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнитострикционных, электромеханических.

> По-видимому, самые значительные достижения в области теории и проектирования фильтров связаны с успехами микроэлектроники. Требования микроминиатюризации радиоэлектронной аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах, и не поддаются исполнению в микроминиатюрном виде. Появились активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде микромодульной конструкции или интегральной схемы. Применение активных RC-фильтров ограничивается пока сравнительно небольшим диапазоном частот до десятков (иногда сотен) килогерц.

> Разработка цифровых систем связи и достижения в области цифровых вычислительных машин стимулировали создание фильтров на базе элементов цифровой и вычислительной техники – цифровых фильтров. В силу специфики элементной базы фильтров не будем далее упоминать о них, хотя расчет таких фильтров производится методами теории электрических цепей. Заинтересованные читатели могут обратиться к специальной литературе по цифровым фильтрам.

> В идеальном случае (идеальный фильтр) характеристика рабочего ослабления, например для ФНЧ, имеет вид, показанный на рис. 2.2, а. С рабочим ослаблением связана рабочая амплитудно-частотная характеристика (АЧХ): . На рис. 2.2, б изображена АЧХ идеального фильтра нижних частот.

> Рис. 2.2

> Реальные фильтры (т. е. фильтры, состоящие из реальных элементов) имеют характеристики рабочего ослабления и амплитудно-частотную, отличные от идеальных.

> Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так, рабочее ослабление в полосе пропускания не должно превышать некоторого максимального допустимого значения , а в полосе непропускания не должно быть ниже некоторого минимально допустимого значения . Нетрудно изобразить эти требования графически, как это сделано на рис. 2.3, а. На этом рисунке и – граничные частоты полос пропускания и непропускания.

> Рис. 2.3

> Зная требования к , можно пересчитать их в требования к АЧХ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ (рис. 2.3, б):

> Характеристики проектируемых фильтров должны “укладываться” в эти требования (рис. 2.3, а и б).

> Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослабления (а значит, и к АЧХ) могут задаваться также требования к фазочастотной характеристике фильтра (скажем, допустимые отклонения от линейного закона) и величине нелинейных искажений (обусловленных, например, наличием железа в катушках индуктивности). Могут предъявляться требования и к другим характеристикам и параметрам фильтра. Ниже будем учитывать только требования к рабочему ослаблению и АЧХ.

> Идеальные частотные характеристики фильтра (см. рис. 2.2, а) заведомо нереализуемы. Частотные характеристики реальных фильтров могут лишь приближаться к ним с той или иной степенью точности в зависимости от сложности схемы фильтра.

> В общем виде электрические фильтры описываются передаточной функцией вида (1.8)

> . (2.1)

> Квадрат амплитудно-частотной характеристики таких фильтров (см. (1.12))

> (2.2)

> и, следовательно, рабочее ослабление

> (2.3)

> могут при надлежащем выборе степени полинома (порядка фильтра) и коэффициентов удовлетворить заданным требования (см. рис. 2.3).

> В теории фильтров принято иметь дело не с обычной угловой частотой w , а с нормированной частотой , где – нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей частоты выбирают граничную частоту полосы пропускания , так что .

> В теории электрических фильтров вместо формул (2.2) и (2.3) используют другие, также универсальные для любого типа фильтра:

> ; (2.4)

> . (2.5)

> Функция называется функцией фильтрации. В общем случае – это дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами (в частности полином), удовлетворяющая условиям: –1 Ф Ф 1 в полосе пропускания и . 1 в полосе непропускания фильтра.

> В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации используют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Если – дробно-рациональная функция (1.8), например, дробь Золотарева, то получают фильтр Золотарева. Все эти три типа фильтров будут рассмотрены в этой главе.

> Следует отметить, что имеет смысл подробно изучать только фильтры нижних частот, т.к. другие типы фильтров (верхних частот, полосовые и заграждающие) могут быть легко получены из ФНЧ с помощью замены переменной (частоты). Для этого во всех выражениях, содержащих переменную W , нужно произвести замену переменной таким образом, чтобы характеристики ФНЧ ( и ) перешли в характеристики соответствующего фильтра. Подобная замена переменной W называется преобразованием частоты, а исходный ФНЧ – фильтром НЧ-прототипа.

> Преобразование частоты позволяет установить соответствие между частотами полос пропускания и непропускания НЧ-прототипа и частотами фильтра верхних частот (полосового или заграждающего), а также преобразовать схему ФНЧ в схему ФВЧ (ПФ или ЗФ). Более подробно вопросы, связанные с преобразованием частоты, будут рассматриваться в этой главе.

> Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (2.4) и его рабочее ослабление (2.5), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта (по имени автора, предложившего использовать их для “конструирования” частотных характеристик фильтра), то такие фильтры называются фильтрами Баттерворта.

> Из формул (2.4) и (2.5) следует, что для фильтров Баттерворта на частоте W = 0 значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления – нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (2.4) и (2.5) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

> Чтобы эти характеристики “вписывались” в предъявляемые к фильтру требования (см. рис. 2.3), необходимо иметь рабочее ослабление (2.5) в полосе пропускания меньшее , а в полосе непропускания большее . Первому условию можно удовлетворить, если потребовать на граничной частоте полосы пропускания (W = 1) выполнения равенства или . Отсюда с учетом (2.5) или (2.4) имеем и . Вычисленный таким способом коэффициент e

> (2.6)

> называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра.

> В формуле (2.6) величина имеет размерность непер. Если воспользоваться значениями в децибелах, то

> . (2.7)

> С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттерворта запишется в виде

> . (2.8)

> Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных четырехполюсников, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый электрический фильтр.

> Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:

> . (2.9)

> Рис. 2.4

> Крутизна частотных характеристик (2.8) и (2.9) зависит от степени m (порядка фильтра).Чем больше степень m, тем выше крутизна характеристик. На рис.2.4, а, и б показаны графики рабочего ослабления и квадрата АЧХ фильтра Баттерворта для различных m. Таким образом, для удовлетворения требований в полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий порядок фильтра m. Его легко определить из условия: на граничной частоте полосы непропускания Х или Ф . С учетом этого условия получим 1 + > , откуда Х . Логарифмируя обе части неравенства, придем к выражению

> Х .

> Из него находим окончательно

> Х . (2.10)

> Величина входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в децибелах, то

> Х . (2.11)

> Передаточную функцию фильтра Баттерворта можно получить из (2.8), если положить :

> . (2.12)

> и разложить знаменатель полученной функции на произведение сомножителей.

> Вычислим корни знаменателя, т. е. полюсы функции , отдельно для четных и нечетных значений m. Для четных значений m

> и k = 1, 2, ..., 2m.

> Так как

> ,

> имеем

> (2.13)

> Для нечетных значений m

> Выражение (2.12) примет вид

> .

> Половина полюсов функции лежит в левой полуплоскости комплексной переменной p и может быть отнесена к передаточной функции реализуемого фильтра . Другая половина полюсов, являясь зеркальным отражением первой, располагается в правой полуплоскости и относится к .

> Построенная из полюсов, лежащих в левой полуплоскости, передаточная функция фильтра Баттерворта является полиномиальной передаточной функцией типа (2.1):

> ,

> где .

> ПРИМЕР 2.1.

> Используя введенное ранее обозначение полинома Баттерворта, можно представить частотные характеристики (2.8) и (2.9) фильтра Баттерворта в следующей форме:

> (2.14)

> Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максимально плоским ослаблением в полосе пропускания (см. рис. 2.4, а).

> Если в качестве функции фильтрации в (2.4) и (2.5) использовать полином Чебышева, обозначаемый , то формулы (2.14) примут вид:

> (2.15)

> где – полином Чебышева степени (порядка) m; e – коэффициент неравномерности, определяемый (2.6) или (2.7).

> Фильтры с частотными характеристиками (2.15) называются фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристики фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства полиномов . Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева:

> (2.16а)

> Любой полином Чебышева при m Х 2 может быть вычислен по рекуррентной формуле . Таким образом, выражения (2.15) удовлетворяют общим выражениям (2.1) – (2.3) характеристик полиномиальных фильтров.

> Существует единая тригонометрическая форма записи полиномов Чебышева в интервале –1 Ф W Ф 1:

> . (2.16б)

> Действительно, ; ; . Вне интервала –1 Ф Ф W Ф 1 полиномы также представляются в тригонометрической форме:

> . (2.16в)

> Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интервале –1 Ф W Ф 1 угол изменяется от –p (при W = –1) до 0 (при W = 1), поэтому полином ровно m раз принимает значения, равные нулю, и m + 1 раз достигает значений, равных +1 или –1 и чередующихся друг с другом. Вне интервала –1 Ф W Ф 1 полином согласно формуле (2.16в) монотонно возрастает. В качестве примера на рис. 2.6, а изображен график полинома Чебышева , т. е. полинома четвертого порядка.

> Рис. 2.6

> В соответствии с (2.15) рабочее ослабление фильтра Чебышева на тех частотах W , где полином обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых равен ± 1, рабочее ослабление достигает величины

> С ростом значений полинома на частотах W > 1 рабочее ослабление также монотонно растет. На рис. 2.6, б приведен график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка.

> Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

> На рис. 2.7 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ фильтра Чебышева для различных значений m, полученные для из (2.15). Подобные зависимости могут быть построены для рабочего ослабления фильтра.

> Рис. 2.7

> Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра m из условия Ф . Для полосы непропускания определяется формулой (2.16в), следовательно, Х . Отсюда Х . Далее Х и m Х .

> В этой формуле величина измеряется в неперах. При использовании единицы децибел порядок фильтра вычисляется из выражения

> m Х .

> Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полиномами наилучшего приближения. Это означает, что при одинаковом значении m из всех полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе пропускания не превышают , наибольшие значения ослабления в полосе непропускания имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее ослабление фильтра Чебышева в полосе непропускания может превышать (и весьма значительно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных значениях m и . Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный характер и легче поддается корректированию для устранения искажений передаваемых сигналов.

> Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкретными условиями их применения в аппаратуре связи и радиотехнических устройствах.

> Для получения передаточной функции фильтра Чебышева поступим аналогично тому, как делали это для фильтров Баттерворта. Заменим оператор jW на оператор р и перейдем от функции к функции

> .

> Представим полином в виде (2.16б) и найдем полюсы функции , решив уравнение

> . (2.17)

> Поскольку согласно (2.16а) коэффициент при старшем члене полинома Чебышева равен , то коэффициент при старшем члене полинома в левой части приведенного выше уравнения равен .

> Корни уравнения (2.17), как можно доказать, определяются аналитически следующим выражением:

> , (2.18)

> где .

> Из корней в левой полуплоскости составляются сомножители , и по теореме Виета строится передаточная функция фильтра

> ,

> где .

> ПРИМЕР 2.2.

> В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в справочниках составлены весьма полные таблицы полюсов и коэффициентов передаточных функций для различных величин и m. Порядок же фильтров m определяется по специальным графикам, исходя из заданных величин , и .

> Частотные характеристики полиномиальных фильтров, описываемые выражениями (2.1) – (2.3), имеют монотонный характер в полосе непропускания. В частности, рабочее ослабление таких фильтров монотонно возрастает по мере удаления от полосы пропускания (рис. 2.4, а и 2.6, б).

> При “жестких” требованиях к частотным характеристикам (малая переходная область между полосами пропускания и непропускания и большая величина рабочего ослабления в полосе непропускания) порядок фильтра m может получиться очень большим даже в случае применения полинома Чебышева. Это приведет к существенному усложнению фильтра и к излишнему “расходу” элементов.

> Рис. 2.8

> В таких случаях целесообразно применять фильтры со всплесками рабочего ослабления в полосе непропускания (рис. 2.8, а). На частотах всплеска , и т. д. рабочее ослабление фильтра стремится к бесконечности; за счет этого возрастает крутизна характеристики ослабления в переходной области. Соответственно АЧХ фильтра на частотах , и т. д. будет обращаться в нуль (рис. 2.8, б).

> Для выполнения указанных условий в выражениях (2.2) – (2.3) используют рациональные дроби вида:

> ; (2.19)

> . (2.20)

> Действительно, когда W принимает значения 0 и .

> Передаточная функция таких фильтров является дробно-рациональной:

> (2.21)

> и кроме полюсов имеет нули

> .

> Фильтры со всплесками рабочего ослабления называют еще фильтрами с нулями передачи.

> Среди фильтров со всплесками ослабления наиболее широкое распространение получили фильтры, построенные на основе дробей Чебышева и Золотарева. Чтобы получить частотные характеристики фильтра на основе дробей Чебышева, нужно в формулах (2.14) или (2.15) использовать в качестве функции фильтрации дробь Чебышева. Обозначая ее , получим

> (2.22)

> В качестве примера укажем дробь Чебышева пятого порядка, для которой построены графики и на рис. 2.8, а и б:

> ,

> где , и – коэффициенты, связанные с частотами всплеска и .

> Очевидно, что подстановка этой дроби в (2.22) приведет после некоторых преобразований к выражениям общего вида (2.19) и (2.20).

> В полосе пропускания дробь Чебышева ведет себя так же, как и полином Чебышева, т. е. рабочее ослабление фильтра носит равноволновый характер. На частотах всплеска и дробь Чебышева обращается в бесконечность, что приводит к бесконечно большому рабочему ослаблению.

> Следует отметить, что дробь Чебышева является дробью наилучшего приближения. Это означает, что фильтр на основе дроби Чебышева на любой частоте полосы непропускания имеет большее значение рабочего ослабления по сравнению с фильтрами на основе других дробей (и полиномов, как частных случаев дробей) при прочих равных условиях (при одинаковых порядках m, при таком же количестве и расположении частот всплеска и тех же величинах ).

> Частным случаем дробей Чебышева являются дроби Золотарева:

> , (2.23)

> где , , значение S равно 0 для четных m и равно 1 для нечетных m; m – порядок дроби; , – нули и полюсы дроби, связанные соотношением .

> Используя в качестве функции фильтрации в (2.14) и (2.15) дроби Золотарева, получим

> (2.24)

> Из формул (2.23) и (2.24) следует, что нули функции совпадают с нулями дроби Золотарева, а всплески функции – с полюсами этой же дроби. Нули и полюсы дроби Золотарева можно рассчитывать, однако обычно их определяют по каталогам для операторных передаточных функций ФНЧ. На рис. 2.9 показан график для фильтра Золотарева пятого порядка.

> Рис. 2.9

> Дроби Золотарева так же, как и полиномы Чебышева, дают равноволновую характеристику рабочего ослабления фильтра в полосе пропускания. Однако в полосе непропускания у фильтров Золотарева значения всех минимумов рабочего ослабления оказываются одинаковыми и равными значению рабочего ослабления на частоте . Такие фильтры называются также фильтрами с изоэкстремальными характеристиками рабочего ослабления.

> Фильтры с характеристиками Золотарева можно рассматривать как частный случай фильтров с характеристиками Чебышева, когда значения минимумов ослабления фильтра в полосе непропускания выравнены, а число всплесков – максимально возможное при выбранном значении m.

> Любые из рассмотренных выше фильтров, как полиномиальные, так и со всплесками ослабления, в зависимости от особенностей их применения могут быть реализованы либо в виде пассивных LC-цепей, либо в виде активных RC-цепей.

> Рис. 2.10

> Пассивные LC-фильтры обычно представляют собой реактивный лестничный четырехполюсник, включенный между генератором с активным внутренним сопротивление и нагрузкой с активным сопротивлением (рис. 2.10). Входное сопротивление реактивного четырехполюсника, нагруженного на сопротивление , обозначено на рисунке .

> Если фильтр со стороны зажимов 1 – 1ў рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой , то, зная выражение , можно реализовать данный двухполюсник одним из известных в теории цепей методов синтеза двухполюсников. Таким образом, задача реализации фильтра сводится к реализации двухполюсника по его заданному входному сопротивлению. Идея данного подхода принадлежит С. Дарлингтону и метод реализации фильтров называется методом Дарлингтона.

> На входе фильтра имеет место несогласованность, которую можно оценить, введя в рассмотрение коэффициент отражения

> . (2.25)

> Решая (2.25) относительно , получаем

> . (2.26)

> В (2.26) неизвестным является коэффициент отражения . В свою очередь, коэффициент отражения связан с передаточной функцией следующим соотношением:

> . (2.27)

> Из (2.27) следует, что знаменатель у такой же, как и у : им является полином . Остается найти нули правой части выражения (2.7) и половину из них “приписать” полиному числителя . Последний формируется из нулей по теореме Виета.

> ПРИМЕР 2.3.

> Аналогично рассмотренному примеру решается задача реализации фильтра любого порядка. Например, полиномиальный ФНЧ пятого порядка (m = 5) реализуется в виде одной из двух схем, показанных на рис. 2.12, а и б. Количество реактивных элементов определяется порядком фильтра m. Отличие фильтра Баттерворта от фильтра Чебышева будет заключаться в этом случае только в разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе реализации соответствующих передаточных функций.

> Рис. 2.12

> По подобной схеме осуществляется и реализация передаточных функций фильтров со всплесками затухания (Чебышева или Золотарева). Разложение входного сопротивления таких фильтров в цепную дробь приведет к схемам, содержащим резонансные контуры, в которых резонансы происходят на частотах , ... Наличие этих контуров и обеспечивает бесконечно большое затухание на частотах всплеска.

> Рис. 2.13

> Так, ФНЧ пятого порядка со всплесками затухания на частотах и реализуется в виде одной из схем, приведенных на рис. 2.13, а и б. И в первой и во второй схемах контуры рассчитаны на резонансные частоты и . В первой схеме в параллельных контурах происходят резонансы токов; сопротивления контуров принимают бесконечно большие значения. В результате на частотах резонансов и наблюдается “обрыв” продольных ветвей фильтра и сигнал от генератора в нагрузку не поступает, т. е. фильтр вносит бесконечно большое ослабление. Во второй схеме в последовательных контурах происходят резонансы напряжений; сопротивления контуров обращаются в нуль. Таким образом, здесь на частотах и поперечные ветви “закорачивают” нагрузку и сигнал на выход фильтра не поступает. Таким образом, имеет место бесконечно большое ослабление.

> Фильтры, представляющие собой комбинацию пассивной RC-цепи и активного элемента, называются активными RC-фильтрами. В качестве активного элемента чаще всего используются операционные усилители с двумя входами: инвертирующим и неинвертирующим.

> Реализация передаточных функций фильтров на активных RC-цепях осуществляется следующим образом. Заданную функцию порядка m разбивают на произведение передаточных функций не выше второго порядка, т. е. .Каждую передаточную функцию реализуют в виде ARC-звена первого или второго порядка. Схему ARC-фильтра получают путем каскадного соединения звеньев.

> ПРИМЕР 2.4.

> В практике проектирования активных RC--фильтров используется большое число схем, реализующих передаточные функции первого и второго порядка. Один из способов построения таких схем показан на рис. 2.14, а. Пассивная часть схемы представлена в виде цепи из элементов R и С. Между зажимами 2 и 3 включен операционный усилитель, в котором использован инвертирующий вход. Примером пассивной RC-цепи является схема, приведенная на рис. 2.14, б. Передаточная функция изображенной на рис. 2.14, б активной RC-цепи может быть получена любым из методов теории цепей и имеет вид:

> Рис. 2.14

> . (2.28)

> Для реализации в виде такой цепи полиномиального фильтрового звена второго порядка с передаточной функцией

> . (2.29)

> нужно выбрать проводимости , и активными: , и , а проводимости и – емкостными: и . Тогда (2.28) запишется в следующей форме:

> . (2.30)

> Сопоставление коэффициентов при р в соответствующих степенях и свободных членов из (2.30), выраженных через элементы фильтра, с заданными числовыми значениями коэффициентов при р и свободных членов из (2.29) позволяет определить значения элементов фильтра.

> ПРИМЕР 2.5.

> Реализация фильтров со всплесками ослабления, передаточные функции которых описываются выражением (2.21), осуществляется так же, как и реализация полиномиальных фильтров. Передаточная функция (2.21) разбивается на произведение простейших (первого и второго порядков) передаточных функций; последние реализуются в виде фильтровых RC-звеньев первого и второго порядков, соединяемых каскадно в общую схему фильтра.

> Для реализации передаточных функций второго порядка с нулем передачи используются специальные фильтровые ARC-звенья.

> Более подробно методику синтеза активных RC-фильтров со всплесками ослабления можно изучить, обратившись к специальной литературе.

> Для синтеза фильтров верхних частот (полосовых или заграждающих) и, в частности, для нахождения их передаточных функций, можно было бы заново повторить все преобразования, примененные к фильтрам нижних частот. Однако такой подход нерационален. Обычно для расчета ФВЧ, ПФ или ЗФ используют преобразование шкалы частот ФНЧ-прототипа.

> Рис. 2.16

> На рис. 2.16 приведены характеристики ослабления фильтров: нижних частот (а), верхних частот (б) полосового (в) и заграждающего (г). Для ФНЧ эта характеристика построена как для положительных, так и для отрицательных частот. Шкала частот для каждого фильтра помечена для удобства буквенными обозначениями: “нч”, “вч”, “пф”, “зф”.

> Из рис. 2.16, а и б видно, что характеристика ослабления ФНЧ в отрицательной области частот повторяет характеристику ФВЧ. Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можно с помощью замены переменной

> , (2.31)

> где – граничная частота полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ. Действительно, такое преобразование частоты приводит к соответствию: частоты частоте ; частоты частоте ; частоты частоте .

> Чтобы из характеристики ФНЧ получить характеристику ПФ (рис. 2.16, в), необходима замена переменной

> , (2.32)

> где ; и – граничные частоты полосы пропускания ПФ; и – граничные частоты полосы нерпопускания ПФ.

> Преобразование частоты (2.32) приводит к соответствию частоты частоте , частоты частоте , частоты частоте .

> Характеристику (рис. 2.16, г) заграждающего фильтра можно получить из характеристики ФНЧ, применяя преобразование частоты

> . (2.33)

> Замена переменных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное сопротивление ФНЧ переходит при преобразовании частот (2.31) в сопротивление:

> ,

> т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где .

> Емкостная проводимость

> переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивностью .

> Преобразование частоты (2.32) приводит к замене индуктивного сопротивления ФНЧ

> сопротивлением последовательного контура в ПФ с элементами и .

> Емкостная проводимость ФНЧ

> заменяется в ПФ проводимостью параллельного контура с элементами и .

> Нетрудно убедиться также, что индуктивный элемент ФНЧ преобразуется в ЗФ в параллельный колебательный контур с резонансной частотой , а емкость ФНЧ – в последовательный колебательный контур с той же резонансной частотой.

> ПРИМЕР 2.6.

> В активных RC-фильтрах для того, чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-прототипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из (2.31) получаем для ФВЧ

> или , (2.34)

> где и .

> Заменяя в (2.34) оператор на оператор р, запишем преобразование переменной р в выражении нормированной по частоте передаточной функции ФНЧ-прототипа:

> . (2.35)

> Передаточная функция полиномиального звена второго порядка ФНЧ имеет вид:

> . (2.36)

> Замена переменной (2.35) в этом выражении приводит к передаточной функции полиномиального звена второго порядка ФВЧ

> . (2.37)

> Для реализации звена с передаточной функцией (2.37) может быть использована схема рис. 2.14, б, в которой следует выбрать проводимости и – активными, т. е. и , а проводимости , и – емкостными, т. е. ; и . Подставляя эти значения проводимостей в выражение (2.28), получаем передаточную функцию

> (2.38)

> ARC-звена ФВЧ второго порядка, схема которого дана на рис. 2.18. Значения элементов схемы будут найдены, если приравнять коэффициенты из (2.37) и (2.38) при соответствующих степенях р.

> Рис. 2.18

> Для перехода от НЧ-прототипа к полосовому фильтру воспользуемся (2.33):

> или , (2.39)

> где ; ; .

> Вводя переменную и учитывая, что , находим из (2.39)

> . (2.40)

> Такая замена переменной в (2.36) приводит к передаточной функции полосового фильтра

> Рис. 2.19

> , (2.41)

> где ; ; ; ; .

> Видим, что при переходе к ПФ порядок передаточной функции удваивается. Передаточную функцию (2.41) можно разбить на произведение передаточных функций второго порядка и каждую из них реализовать отдельной ARC-схемой.

> Запишем передаточную функцию ПФ второго порядка:

> . (2.42)

> Подобную передаточную функцию имеет ARC-схема, изображенная на рис. 2.14, б при , , , и , . Действительно, из (2.28) находим

> . (2.43)

> Элементы схемы фильтра (рис. 2.19) определяются сопоставлением (2.42) и (2.43).

> В многоканальных системах передачи разделение каналов по частоте осуществляется с помощью полосовых фильтров. Чтобы сигналы одного канала не попадали в другой, ПФ должны иметь высокую избирательность. Добротность резонансных контуров таких фильтров Q > 20 ... . Так, для фильтра с = 62 кГц и полосой пропускания 4 кГц Q > 300, в то же время для фильтра с = 106 кГц и 4 кГц Q > 1500.

> В радиосвязи используются еще более высокие частоты (десятки и сотни мегагерц) и для построения избирательных фильтров нужны резонаторы с добротностью в тысячи и десятки тысяч единиц. Такие значения добротности никогда не обеспечиваются в LC-резонаторах (их добротность не превышает сотен единиц), поэтому в фильтрах применяют высокодобротные механические резонаторы, пьезоэлектрические, магнитострикционные и электромеханические.

> В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет пластинка, вырезанная специальным образом из материала, обладающего пьезоэлектрическим эффектом (например, из кристалла кварца). Пьезоэффект кварцевой пластинки заключается в появлении на ее поверхностях электрических зарядов при механическом воздействии на пластинку. Существует и обратный пьезоэффект – возникновение механических колебаний пьезопластинки при помещении ее в переменное электрическое поле.

> Если пьезопластинку поместить между металлическими обкладками и подать на обкладки переменное напряжение, то пластинка начнет совершать механические колебания. На поверхностях пластинки возникнут электрические заряды и во внешней цепи потечет ток. При совпадении частоты переменного напряжения и частоты собственных колебаний пластинки возникает механический резонанс; амплитуда колебаний достигнет максимума и ток во внешней цепи будет максимальным. Таким образом, механический резонанс в кварцевой пластине подобен резонансу напряжений в последовательном колебательном контуре.

> Эквивалентная схема пьезоэлектрического (в частности, кварцевого) резонатора (рис. 2.20) помимо эквивалентных индуктивности L и емкости C резонатора содержит емкость кварцедержателя , т. е. обкладок, между которыми помещена кварцевая пластинка.

> Пьезоэлектрические фильтры с кварцевыми резонаторами называют кварцевыми. Добротность кварцевых резонаторов достигает 10 ... 20 тыс. ед. Кварцевые фильтры могут быть построены по мостовой схеме (рис. 2.21).

> Рис. 2.20 Рис. 2.21

> Магнитострикционные фильтры строятся на основе резонаторов из ферромагнитного материала, обладающего магнитострикционным эффектом (например, из сплава никеля с кобальтом). Магнитострикционный эффект состоит в том, что стержень из ферромагнетика, помещенный в переменное магнитное поле, изменяет свои геометрические размеры. Обратный эффект – изменение магнитной проницаемости стержня при механическом воздействии на него. Если, например, никель-кобальтовый стержень поместить внутрь катушки индуктивности, создающей переменное магнитное поле, его геометрические размеры начнут меняться. При этом будет меняться и его магнитная проницаемость. В катушке индуктивности наведется ЭДС, направленная против ЭДС генератора и уменьшающая ток во внешней цепи. При механическом резонансе амплитуда колебаний стержня будет максимальной, а ток во внешней цепи – минимальный. Таким образом, механический резонанс магнитострикционного стержня подобен резонансу токов параллельного колебательного контура.

> Эквивалентная схема резонатора приведена на рис. 2.22 и включает в себя элементы и эквивалентного резонатору контура, а также индуктивность , учитывающую рассеяние магнитного потока при замыкании его через воздух.

> Рис. 2.22

> Добротность магнитострикционных резонаторов ниже, чем кварцевых, и составляет 5 ... 10 тыс. ед. Магнитострикционные фильтры строятся по мостовой схеме (рис. 2.23).

> Рис. 2.23 Рис. 2.24

> В электромеханических фильтрах резонаторами являются металлические тела (диски, шарики, стержни, пластинки), соединенные металлическими связками. На рис. 2.24 изображен трехрезонаторный стержневой электромеханический фильтр. Возбуждаются колебания в фильтре с помощью входного магнитострикционного преобразователя (МСП); снимаются колебания с выхода фильтра с помощью выходного МСП. Электромеханические фильтры являются также высокодобротными.

> Вопросы и задания для самопроверки

назад | оглавление | вперёд