ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ: 26 ВОПРОСОВ И ОТВЕТОВ

Вопрос 8. Зачем используют дискретное преобразование Фурье? | назад| оглавление| вперёд

Мы уже отмечали, что развитие вычислительной техники привело к появлению цифровых систем обработки сигналов. При этом как сигнал, так и его спектр необходимо перед вводом в вычислительное устройство представлять в виде отсчетов, т.е. в виде чисел.

В формулах (5) и (6), или (7) и (8), один из компонентов уже является дискретным. Остается только заменить в этих формулах оставшуюся непрерывную переменную (t или f) дискретными значениями.

Так, например, если в формулах (5) и (6) время t заменим на nT, то получим формулы (9) и (10)

, (9)

. (10)

Следует заметить, что при этом периодический сигнал стал дискретным сигналом , или , а значит дискретный спектр начал периодически повторяться (рис. 17). Суммирование дискретных составляющих спектра в формуле (6) следует теперь вести не в бесконечных пределах, а на периоде, где укладывается N отсчетов. Значит индекс суммирования m в формуле (10) будет изменяться от m = 0 до m = N – 1.

Рис.17

На периоде повторения дискретного сигнала также укладывается N отсчетов, включая нулевой отсчет. Интеграл в (5) заменяется суммой с индексом суммирования n, изменяющимся от n = 0 до n = N – 1. Переменная dt в этой формуле при переходе от интеграла к сумме заменяется на T, так что отношение , т.к. . Частота дискретизации равна . Отсюда вытекают соотношения:

и . (11)

Произведение FT можно заменить величиной 1/N.

Выражения (9) и (10) называются прямым и обратным дискретным преобразованием Фурье.

Вывод: Формулы дискретного преобразования Фурье (ДПФ) удобны для расчетов на ЭВМ.

Пример 8.1. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного тремя отсчетами = {0; 1; 2}.

Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (9).

.

Поскольку

, ,

то ,

.

Графики заданного дискретного периодического сигнала и рассчитанного дискретного периодического спектра амплитуд приведены на рис. 18.

Пример 8.2. Рассчитаем значения дискретного сигнала , ДПФ которого имеет вид = {0; 1; 0; 1}.

Значения дискретного сигнала будем рассчитывать по формуле (10)

;

Рис. 19

Рис. 18

График последовательности = {2; 0; –2; 0} приведен на рис. 19. Сигнал дискретный и периодический.

Самоконтроль

1. Как рассчитать спектр дискретного периодического сигнала?

2. Как рассчитать дискретный периодический сигнал по его спектру?

3. Найдите ДПФ сигнала, заданного двумя отсчетами = = {1; –1}.

4. Рассчитайте значения и дискретного сигнала, ДПФ которого имеет вид = {1; –1}.

назад | оглавление | вперёд