Теория электрических цепей

Нелинейные электрические цепи при гармонических воздействиях | назад | оглавление | вперёд |

§ 11.7. Воздействие суммы гармонических колебаний на нелинейный резистивный элемент

Спектральный состав тока при бигармоническом воздействии. Пусть к нелинейному резистивному элементу подведено бигармоническое воздействие, т. е. колебание в виде суммы двух гармонических колебаний разных частот и постоянное напряжение смещения U0

Предположим, что ВАХ нелинейного элемента описывается полиномом

Тогда ток в цепи НЭ равен:

Для анализа спектра тока аппарат рядов Фурье здесь не применим, так как в общем случае функция (11.13) не является периодической. Следует, как и при гармоническом воздействии на НЭ, воспользоваться формулами преобразования тригонометрических функций. При этом

для квадратичного члена суммы (11.1 3)

для кубичного члена

и т. д.

Допустим, что n = 3, т. е., что вольт-амперная характеристика нелинейного элемента описывается полиномом третьей степени. Тогда полученные выше выражения для i2(t) и i3(t) показывают, что ток в элементе кроме линейной составляющей реакции i1(t) = содержит также постоянную составляющую, гармонические колебания с частотам воздействия w 1 и w 2 и гармоники колебаний с частотами 2 w 1, 2 w 2,3 w 1 и 3 w 2.

Перечисленные составляющие спектра характерны и для воздействия на тот же элемент двух гармонических колебаний с частотами w 1 и w 2 порознь. При совместном же их воздействии в спектре реакции появляются колебания с частотами

|w 1 ± w 2|, |2 w 1 ± w 2| и |w 1 ± 2 w 2|* .

Соответствующие колебания называются комбинационными, а их частоты - комбинационными частотами. Амплитуды комбинационных колебаний зависят от амплитуд обеих составляющих бигармонического воздействия и в рассматриваемом примере для колебаний с частотами

|w 1 ± w 2|, |2 w 1 ± w 2| и |w 1 ± 2 w 2|

пропорциональны соответственно произведениям и .

Аналогичные выкладки для остальных членов суммы (11.13) приводят к заключению, что при бигармоническом воздействии на нелинейный элемент с полиномиальной вольт-амперной характеристикой спектр реакции содержит гармонические колебания с частотами

где l = 0, 1, 2, ..., n; m = 0, 1, 2, ..., n, l + m Ф n.

Сумма l + m определяет порядок комбинационного колебания с частотой (11.14). Так, комбинационные колебания 4-го порядка – это колебание с частотами 4 w 1, |3 w 1 ± w 2|, |2 w 1 ± 2 w 2|, |w 1 ± 3 w 2| и 4 w 2.

Комбинационные частоты при воздействии суммы гармонических колебаний. В общем случае входное воздействие можно представить бесконечной суммой

В зависимости от степени n аппроксимирующего полинома в спектре тока, протекающего через нелинейный элемент, появляются комбинационные частоты вида:

l, m, s, k – целые положительные числа. Например, при воздействии на НЭ с ВАХ в виде полинома второй степени суммы трех гармонических колебаний в спектре тока, помимо постоянной составляющей и первых двух гармоник каждой частоты, присутствуют комбинационные частоты |w 1 ± w 2|; |w 1 ± w 3|; |w 2 ± w 3|. При аппроксимации полиномом третьей степени дополнительно появляются третьи гармоники с частотами 3 w 1, 3 w 2, 3 w 3 и колебания с комбинационными частотами типа |w 1 ± w 2 ± w 3|, |2 w 1 ± w 3|, |w 1 ± 2 w 3| и т. д.

назад | оглавление | вперёд