Теория электрических цепей

Тема 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа | назад | оглавление | вперёд |

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий uC(0–) = 0, i(0–) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14). Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей uCпр = U. Свободная составляющая uCсв определяется, как и ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней р1 и р2. Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся при этом из начальных условий i(0–) = 0, uC(0–) = 0 и законов коммутации для i и uC. Определим, например, закон изменения uC, i и uL в случае, когда корни р1 и р2 — вещественные и различные. При этом uC св определяются уравнением (6.43), а напряжение uC и ток i имеют следующий вид: (6.64) Для нахождения коэффициентов А1 и А2 используем начальные условия uC(0– ) = 0 и i(0– ) = 0, а также законы коммутации, определяемые выражениями (6.1),(6.2): (6.65) Тогда (6.66) Окончательные уравнения для иС, i, иL имеют вид (6.67) (6.68) (6.69) На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67)—(6.69), где моменты времени t1 и t2 определяются уравнениями (6.49). Сравнение формул (6.67)—(6.69) с (6.46)—(6.48) показывает, что ток i и напряжение иL отличаются только знаком, а напряжение иС — наличием постоянной составляющей U. Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для случая R < 2: (6.70) (6.71) (6.72) На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70), которая свидетельствует о колебательном характере заряда емкости. Таким же образом можно получить уравнения для uC, i и uL для случая критического заряда емкости С при R = 2. Включение RLC-контура на гармоническое напряжение. При включении RLC-контура на гармоническое напряжение u = Umsin(t + u ) принужденная составляющая напряжения на емкости (6.73) где C = u + — /2. Здесь фазовый сдвиг между током в контуре и приложенным напряжением (6.74) а амплитуда принужденного напряжения на емкости (6.75) Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических устройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выполняется условие R 2, то свободная составляющая uCсв определяется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости будет иметь вид (6.76) Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для заданного контура , получим уравнение тока (6.77) Постоянные интегрирования A и находим из начальных условий и законов коммутации: (6.78) Откуда (6.79) (6.80) Подставив значения А и из уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и (6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на емкости и тока в RLC-контуре: (6.81) (6.82) Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда частота приложенного напряжения существенно превышает резонансную частоту контура 0 при C 0 в цепи могут возникнуть сверхнапряжения, а в случае и C /2 — сверхтоки. Если частота задающего напряжения = 0, то при этом в цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на емкости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с уравнениями: (6.83) (6.84) При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и сверхтоков (рис. 6.16, а). В случае, когда частота заданного напряжения и резонансная частота контура 0 близки между собой, то в контуре возникают явления биений. Положим, что a = 0, тогда (6.85) где UmС(t) = 2UmСсost — амплитуда биений с угловой частотой = ( — 0 )/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напряжений биений (6.85).

назад | оглавление | вперёд